verallgemeinerte Koordinaten

ver|allgemeinerte Ko|ordinaten,

 

generalisierte Ko|ordinaten, voneinander unabhängige Ortsvariable q_k (k = 1, 2,. .., f), die die räumliche Lage eines physikalischen Systems vollständig beschreiben; dabei ist die Zahl der mechanischen Freiheitsgrade f des Systems gleich der der verallgemeinerten Koordinaten. So besitzt ein System aus N Massenpunkten 3N Freiheitsgrade, deren Zahl sich aber häufig reduziert, weil die betreffenden Objekte nicht unabhängig voneinander sind, z. B. bei Bestehen fester Bindungen wie im starren Körper. Zudem sind Systeme häufig äußeren Zwangsbedingungen unterworfen, die die Freiheitsgrade einschränken, etwa bei Drehung um eine feste Achse oder bei Bewegung auf einer Ebene oder in einer Schiene. Liegen genau n verschiedene solcher Zwangsbedingungen vor, vermindert sich die Zahl der zur Beschreibung des Systems notwendigen Koordinaten ebenfalls um n (für ein System aus N Massenpunkten gilt dann f = 3N — n). Die geeignete Wahl der verallgemeinerten Koordinaten für ein System erfolgt unter Berücksichtigung der Systemgeometrie, der Problemstellung und der Zwangsbedingungen; im Allgemeinen sind die verallgemeinerten Koordinaten nicht identisch mit den kartesischen Koordinaten und können auch eine andere Dimension als die der Länge besitzen (z. B. als Winkel bei der Auslenkung eines Pendels). Spezielle Beispiele für verallgemeinerte Koordinaten sind Polar- und Kugelkoordinaten.

 

Für die Beschreibung des zeitlichen Verhaltens betrachtet man die Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten q_k (t) von der Zeit t. Die zeitlichen Ableitungen q̇_k (t) = dq_k / dt werden als verallgemeinerte Geschwindigkeiten bezeichnet. Als verallgemeinerte Impulse p_k werden die Ableitungen der Lagrange-Funktion L des Systems nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten definiert: p_k = ∂L / ∂q̇_k. Die mithilfe der verallgemeinerten Koordinaten aufgestellten äquivalenten Bewegungsgleichungen eines Systems sind die Hamilton-Gleichungen und die Lagrange-Bewegungsgleichungen. Der von den verallgemeinerten Koordinaten aufgespannte f-dimensionale euklidische Raum heißt auch Lage- oder Konfigurationsraum des Systems; in der statistischen Mechanik ist der Phasenraum der gemeinsam von verallgemeinerten Koordinaten und verallgemeinerten Impulsen aufgespannte Raum.